dilog

2 重対数関数

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構文

dilog(X)

説明

例

dilog(X) は 2 重対数関数を返します。

例

数値引数およびシンボリック引数に対する 2 重対数関数

引数に応じて、dilog は浮動小数点解またはシンボリック厳密解の結果を返します。

次の数値について 2 重対数関数を計算します。これらの数値はシンボリックオブジェクトではないため、dilog は浮動小数点の結果を返します。

A = dilog([-1, 0, 1/4, 1/2, 1, 2])

A =
   2.4674 - 2.1776i   1.6449 + 0.0000i   0.9785 + 0.0000i...
   0.5822 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i  -0.8225 + 0.0000i

シンボリックオブジェクトに変換された数値に対する 2 重対数関数を計算します。ほとんどのシンボリックな (厳密な) 数値に対して、dilog は未解決のシンボリックな呼び出しを返します。

symA = dilog(sym([-1, 0, 1/4, 1/2, 1, 2]))

symA =
[ pi^2/4 - pi*log(2)*1i, pi^2/6, dilog(1/4), pi^2/12 - log(2)^2/2, 0, -pi^2/12]

vpa を使用し、これらの解を浮動小数点数で近似します。

vpa(symA)

ans =
[ 2.467401100272339654708622749969 - 2.1775860903036021305006888982376i,...
1.644934066848226436472415166646,...
0.97846939293030610374306666652456,...
0.58224052646501250590265632015968,...
0,...
-0.82246703342411321823620758332301]

2 重対数関数のプロット

2 重対数関数を 0 から 10 までの範囲でプロットします。

syms x
fplot(dilog(x),[0 10])
grid on

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type functionline.

2 重対数関数を含む式の処理

diff、int および limit などの関数は dilog を含む式を処理することができます。

2 重対数関数の 1 次および 2 次導関数を求めます。

syms x
diff(dilog(x), x)
diff(dilog(x), x, x)

ans =
-log(x)/(x - 1)
 
ans =
log(x)/(x - 1)^2 - 1/(x*(x - 1))

2 重対数関数の不定積分を求めます。

int(dilog(x), x)

ans =
x*(dilog(x) + log(x) - 1) - dilog(x)

dilog の式の極限を求めます。

limit(dilog(x)/x, Inf)

ans =
0

入力引数

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`X` — 入力
シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック式 | シンボリック関数 | シンボリックベクトル | シンボリック行列

入力値。シンボリック数、変数、式または関数、あるいはシンボリック数、変数、式または関数のベクトルまたは行列として指定します。

詳細

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2 重対数関数

2 重対数関数には、一般的に 2 つの定義があります。

関数 dilog の実装には次の定義を使用します。

$dilog (x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln (t)}{1 - t} d t$

2 重対数関数の一般的なもう 1 つの定義は以下になります。

${Li}_{2} (x) = \int_{x}^{0} \frac{\ln (1 - t)}{t} d t$

したがって、dilog(x) = Li₂(1 – x) となります。

ヒント

dilog(sym(-1)) は pi^2/4 - pi*log(2)*i を返します。
dilog(sym(0)) は pi^2/6 を返します。
dilog(sym(1/2)) は pi^2/12 - log(2)^2/2 を返します。
dilog(sym(1)) は 0 を返します。
dilog(sym(2)) は -pi^2/12 を返します。
dilog(sym(i)) は pi^2/16 - (pi*log(2)*i)/4 - catalan*i を返します。
dilog(sym(-i)) は catalan*i + (pi*log(2)*i)/4 + pi^2/16 を返します。
dilog(sym(1 + i)) は - catalan*i - pi^2/48 を返します。
dilog(sym(1 - i)) は catalan*i - pi^2/48 を返します。
dilog(sym(Inf)) は -Inf を返します。

参照

[1] Stegun, I. A. “Miscellaneous Functions.” Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.). New York: Dover, 1972.