ウェーブレットファミリ

Wavelet Toolbox™ ソフトウェアには、連続解析と離散解析の両方に使用できる多数のウェーブレットが含まれています。離散解析の場合、たとえば、直交ウェーブレット (Daubechies の極値位相ウェーブレットおよび最小非対称ウェーブレット)、B スプライン双直交ウェーブレットなどがあります。連続解析の場合、Wavelet Toolbox ソフトウェアには、Morlet、Meyer、ガウス導関数、Paul などのウェーブレットが含まれています。

ウェーブレットの選択は、信号またはイメージの特性およびアプリケーションの性質によって決まります。解析ウェーブレットと合成ウェーブレットの特性を理解すれば、アプリケーション用に最適化されたウェーブレットを選択できます。

ウェーブレットファミリによって、いくつかの重要な性質が異なります。例として以下があります。

時間と周波数におけるウェーブレットのサポートおよび減衰率。
ウェーブレットの対称性または反対称性。付随する完全再構成フィルターの位相は線形です。
消失モーメントの数。ウェーブレットの消失モーメントの数が多いと、さまざまな信号やイメージに対してスパース表現を実現できます。
ウェーブレットの正則性。滑らかなウェーブレットほど、周波数分解能がシャープになります。さらに、ウェーブレット構築の反復アルゴリズムが速く収束します。
スケーリング関数 φ の存在。

連続解析の場合、Wavelet Toolbox ソフトウェアの解析ウェーブレットに基づく解析は一部のウェーブレットが対象です。詳細については、cwt および icwt を参照してください。基本的な理論上の目的については、逆連続ウェーブレット変換を参照してください。CWT による時間-周波数解析では、シミュレートした信号および実際の信号に対する連続ウェーブレット変換の使用について説明しています。

コマンドラインで「waveinfo」と入力すると、利用できるウェーブレットファミリの主な性質が表示されます。特定のウェーブレットファミリについては、ウェーブレットファミリの略称を指定して waveinfo を使用します。ウェーブレットファミリの略称は、次の表および waveinfo のリファレンスページに記載されています。

ウェーブレットファミリの略称	ウェーブレットファミリ名
`'haar'`	Haar ウェーブレット
`'db'`	Daubechies ウェーブレット
`'sym'`	Symlet
`'coif'`	Coiflet
`'bior'`	双直交ウェーブレット
`'rbio'`	逆双直交ウェーブレット
`'meyr'`	Meyer ウェーブレット
`'dmey'`	Meyer ウェーブレットの離散近似
`'gaus'`	ガウスウェーブレット
`'mexh'`	Mexican Hat ウェーブレット (別名 Ricker ウェーブレット)
`'morl'`	Morlet ウェーブレット
`'cgau'`	複素ガウスウェーブレット
`'shan'`	Shannon ウェーブレット
`'fbsp'`	周波数 B スプラインウェーブレット
`'cmor'`	複素 Morlet ウェーブレット
`'fk'`	Fejer-Korovkin ウェーブレット

Daubechies の最小非対称直交ウェーブレットについての詳細情報を表示するには、次を入力します。

waveinfo('sym')

ウェーブレットとスケーリング関数 (利用可能な場合) を計算するには、wavefun を使用します。

Morlet ウェーブレットは連続解析に適しています。Morlet ウェーブレットに関連付けられたスケーリング関数はありません。Morlet ウェーブレットを計算するには、次を入力します。

[psi,xval] = wavefun('morl',10);
plot(xval,psi); title('Morlet Wavelet');

多重解像度解析に関連するウェーブレットについては、スケーリング関数とウェーブレットの両方を計算できます。次のコードは、4 つの消失モーメントを持つ Daubechies の極値位相ウェーブレットのスケーリング関数とウェーブレットを返します。

[phi,psi,xval] = wavefun('db4',10);
subplot(211);
plot(xval,phi);
title('db4 Scaling Function');
subplot(212);
plot(xval,psi);
title('db4 Wavelet');

離散ウェーブレット解析では、関連するスケーリング関数とウェーブレットよりも興味深いのが解析フィルターと合成フィルターです。wfilters を使用して解析フィルターと合成フィルターを求めることができます。

B スプライン双直交ウェーブレットの分解 (解析) フィルターと再構成 (合成) フィルターを求めます。合成ウェーブレットで 3 つの消失モーメント、解析ウェーブレットで 5 つの消失モーメントを指定します。フィルターのインパルス応答をプロットします。

[LoD,HiD,LoR,HiR] = wfilters('bior3.5');
subplot(221);
stem(LoD);
title('Lowpass Analysis Filter');
subplot(222);
stem(HiD);
title('Highpass Analysis Filter');
subplot(223);
stem(LoR);
title('Lowpass Synthesis Filter');
subplot(224);
stem(HiR);
title('Highpass Synthesis Filter');

Daubechies ウェーブレット: dbN

dbN ウェーブレットは、Daubechies の極値位相ウェーブレットです。N は消失モーメントの数を表します。このフィルターは、文献ではフィルターのタップ数 2N で表されることもあります。このファミリの詳細については、[Dau92] の 195 ページを参照してください。このファミリの主な性質を調べるには、MATLAB^® コマンドプロンプトで「waveinfo('db')」と入力します。

Daubechies ウェーブレット db4 (左) と db8 (右)

db1 ウェーブレットは、Haar ウェーブレットとも呼ばれます。Haar ウェーブレットは、線形位相をもつ唯一の直交ウェーブレットです。waveinfo('haar') を使用して、このウェーブレットの主な性質を調べることができます。

Symlet ウェーブレット: symN

symN ウェーブレットは、Daubechies の最小非対称ウェーブレットとも呼ばれます。Symlet は極値位相ウェーブレットよりも対称的です。symN で、N は消失モーメントの数です。このフィルターは、文献ではフィルターのタップ数 2N で表されることもあります。Symlet の詳細については、[Dau92] の 198 ページ、254 ～ 257 ページを参照してください。このファミリの主な性質を調べるには、MATLAB コマンドプロンプトで「waveinfo('sym')」と入力します。

Symlet sym4 (左) と sym8 (右)

Coiflet ウェーブレット: coifN

Coiflet スケーリング関数にも消失モーメントがあります。coifN で、N はウェーブレットとスケーリング関数の両方の消失モーメントの数です。このフィルターは、文献ではフィルター係数の数 3N で表されることもあります。Coiflet の構築については、[Dau92] の 258 ～ 259 ページを参照してください。このファミリの主な性質を調べるには、MATLAB コマンドプロンプトで「waveinfo('coif')」と入力します。

Coiflet coif3 (左) と coif5 (右)

s が十分に正則な連続時間信号である場合、大きい j に対して、係数 $〈 s, ϕ_{- j, k} 〉$ は $2^{- j / 2} s (2^{- j} k)$ で近似されます。

s が次数 d (d ≤ N – 1) の多項式である場合、この近似は等価になります。この性質は、サンプリング問題に関連して、与えられた信号の φ_j,l に対する展開とそのサンプリングバージョンとの差分を計算するときに使用されます。

双直交ウェーブレットペア: biorNr.Nd

Haar ウェーブレットは線形位相をもつ唯一の直交ウェーブレットですが、線形位相をもつ双直交ウェーブレットは設計できます。

双直交ウェーブレットの特徴は、スケーリング関数および関連付けられたスケーリングフィルターのペアです。1 つが解析用で、もう 1 つが合成用です。

ウェーブレットおよび関連付けられたウェーブレットフィルターのペアもあります。1 つが解析用で、もう 1 つが合成用です。

解析ウェーブレットと合成ウェーブレットは、異なる数の消失モーメントや異なる正則性の性質をもつことができます。解析には消失モーメントの数が大きいウェーブレットを使用してスパース表現を実現し、再構成には滑らかなウェーブレットを使用することもできます。

双直交ウェーブレット基底の構築の詳細については、[Dau92] の 259 ページ、262 ～ 285 ページおよび [Coh92] を参照してください。このファミリの主な性質を調べるには、コマンドラインで「waveinfo('bior')」と入力します。

次のコードは、消失モーメントが 3 個および 5 個の B スプライン双直交再構成フィルターまたは分解フィルターを返し、インパルス応答をプロットします。

ローパスフィルターのインパルス応答は、中点に対して対称です。ハイパスフィルターのインパルス応答は、中点に対して反対称です。

[LoD,HiD,LoR,HiR] = wfilters('bior3.5');
subplot(221);
stem(LoD);
title('Lowpass Analysis Filter');
subplot(222);
stem(HiD);
title('Highpass Analysis Filter');
subplot(223);
stem(LoR);
title('Lowpass Synthesis Filter');
subplot(224);
stem(HiR);
title('Highpass Synthesis Filter');

逆双直交ウェーブレットペア: rbioNr.Nd

このファミリは、前述の双直交ウェーブレットペアから得られます。

このファミリの主な性質については、MATLAB コマンドラインから「waveinfo('rbio')」と入力して調べることができます。

逆双直交ウェーブレット rbio1.5

Meyer ウェーブレット: meyr

ψ および φ はともに周波数領域で、補助関数 ν から定義されています ([Dau92] の 117、119、137、152 ページを参照)。MATLAB コマンドプロンプトで「waveinfo('meyr')」と入力することで、このウェーブレットの主な性質を調べることができます。

Meyer ウェーブレット

Meyer ウェーブレットとスケーリング関数は、周波数領域で定義されています。

ウェーブレット関数

$\begin{array}{l} \hat{ψ} (ω) = (^{2 π) - 1 / 2} e^{i ω / 2} \sin (\frac{π}{2} ν (\frac{3}{2 π} | ω | - 1)) i f \frac{2 π}{3} \leq | ω | \leq \frac{4 π}{3} \\ \hat{ψ} (ω) = (^{2 π) - 1 / 2} e^{i ω / 2} \cos (\frac{π}{2} ν (\frac{3}{4 π} | ω | - 1)) i f \frac{4 π}{3} \leq | ω | \leq \frac{8 π}{3} \end{array}$
$\hat{ψ} (ω) = 0 i f | ω | \notin [\frac{2 π}{3}, \frac{8 π}{3}]$
ここで $ν (a) = a^{4} (35 - 84 a + 70 a^{2} - 20 a^{3}) a \in [0, 1]$ です。
スケーリング関数

$\begin{array}{l} \hat{ϕ} (ω) = (^{2 π) - 1 / 2} i f | ω | \leq \frac{2 π}{3} \\ \hat{ϕ} (ω) = (^{2 π) - 1 / 2} cos (\frac{π}{2} ν (\frac{3}{2 π} | ω | - 1)) i f \frac{2 π}{3} \leq | ω | \leq \frac{4 π}{3} \\ \hat{ϕ} (ω) = 0 i f | ω | > \frac{4 π}{3} \end{array}$

補助関数を変更することで、異なるウェーブレットのファミリを取得できます。補助関数 ν に必要な性質など、詳細については、参考文献を参照してください。このウェーブレットは、確実に直交解析になります。

関数 ψ は有限サポートを持ちませんが、のとき ψ はどの逆多項式よりも速く 0 へと減少します。

$\forall n \in Ν, \exists C_{n}$ s. t. $| ψ (x) | \leq C_{n} {(1 + {| x |}^{2})}^{- n}$

この性質は導関数にも維持されます。

$\forall k \in N, \forall n \in N, \exists C_{k, n}$ s. t. $| ψ^{(k)} x | \leq C_{k, n} (1 + {| x |}^{2}) - n$

このウェーブレットは無限回微分可能です。

メモ

Meyer ウェーブレットはコンパクトサポートを持ちませんが、適切な近似が存在し、DWT で使用できる FIR フィルターになります。この疑似ウェーブレットの主な性質を調べるには、MATLAB コマンドプロンプトで「waveinfo('dmey')」と入力します。

ガウス導関数ファミリ: gaus

このファミリは、ガウス関数 $f (x) = C_{p} e^{- x^{2}}$ を元にして、f の p 次導関数を求めることで構築します。

整数 p はこのファミリのパラメーターであり、前の式において、C_p は ${‖ f^{(p)} ‖}^{2} = 1$ となる値です。ここで、f ^(p) は f の p 次導関数です。

このファミリの主な性質については、MATLAB コマンドラインから「waveinfo('gaus')」と入力して調べることができます。

ガウス導関数ウェーブレット gaus8

Mexican Hat ウェーブレット: mexh

このウェーブレットは、ガウス確率密度関数の 2 階微分関数に比例します。このウェーブレットは、さらに大きいガウス導関数 (DOG) ウェーブレットファミリの特殊なケースです。Ricker ウェーブレットとしても知られています。

このウェーブレットに関連付けられたスケーリング関数はありません。

このウェーブレットの主な性質を調べるには、MATLAB コマンドプロンプトで「waveinfo('mexh')」と入力します。

このウェーブレットは wavefun を使用して計算できます。

[psi,xval] = wavefun('mexh',10);
plot(xval,psi);
title('Mexican Hat Wavelet');

Morlet ウェーブレット: morl

このウェーブレットには実数値のバージョンと複素数値のバージョンの両方があります。実数値の Morlet ウェーブレットの性質を調べるには、MATLAB コマンドラインで「waveinfo('morl')」と入力します。

実数値の Morlet ウェーブレットは次のように定義されます。

$ψ (x) = C e^{- x^{2}} \cos (5 x)$

定数 C は、再構成を考慮した正規化に使用されます。

[psi,xval] = wavefun('morl',10);
plot(xval,psi);
title('Real-valued Morlet Wavelet');

厳密に言うと、Morlet ウェーブレットはアドミッシブル条件を満たしません。

その他の実数ウェーブレット

その他の実数ウェーブレットのいくつかがツールボックスで使用可能です。

複素数ウェーブレット

ツールボックスは、連続ウェーブレット解析用の複素数値のウェーブレットも多数提供します。複素数値のウェーブレットは位相情報を提供するので、非定常信号の時間-周波数解析で非常に重要です。

複素ガウスウェーブレット: cgau

このファミリは、次の複素ガウス関数を元に構築されます。

$f (x) = C_{p} e^{- i x} e^{- x^{2}}$ で、f の p 次導関数を求めます。整数 p はこのファミリのパラメーターであり、前の式において、C_p は次を満たす値です。

${‖ f^{(p)} ‖}^{2} = 1$ (ここで、f ^(p) は f の p 次導関数)。

このファミリの主な性質については、MATLAB コマンドラインから「waveinfo('cgau')」と入力して調べることができます。

複素ガウスウェーブレット cgau8

複素 Morlet ウェーブレット: cmor

[Teo98] の 62 ～ 65 ページを参照してください。

複素 Morlet ウェーブレットは次のように定義されます。

$ψ (x) = \frac{1}{\sqrt{π f_{b}}} e^{2 i π f_{c} x} e^{\frac{x^{2}}{f^{b}}}$

これは次の 2 つのパラメーターに依存します。

f_b は帯域幅パラメーター
f_c はウェーブレット中心周波数

このファミリの主な性質については、MATLAB コマンドラインから「waveinfo('cmor')」と入力して調べることができます。

複素 Morlet ウェーブレット morl 1.5-1

複素周波数 B スプラインウェーブレット: fbsp

[Teo98] の 62 ～ 65 ページを参照してください。

複素周波数 B スプラインウェーブレットは、次のように定義されます。

$ψ (x) = \sqrt{f_{b}} {(sinc (\frac{f_{b} x}{m}))}^{m} e^{2 i π f_{c} x}$

これは次の 3 つのパラメーターに依存します。

m は整数の次数パラメーター (m ≥ 1)
f_b は帯域幅パラメーター
f_c はウェーブレット中心周波数

このファミリの主な性質については、MATLAB コマンドラインから「waveinfo('fbsp')」と入力して調べることができます。

複素周波数 B スプラインウェーブレット fbsp 2-0.5-1

複素 Shannon ウェーブレット: shan

[Teo98] の 62 ～ 65 ページを参照してください。

このファミリは、周波数 B スプラインウェーブレットで、m を 1 に設定することで得られます。

複素 Shannon ウェーブレットは次のように定義されます。

$ψ (x) = \sqrt{f_{b}} sinc (f_{b} x) e^{2 i π f_{c} x}$

これは次の 2 つのパラメーターに依存します。

f_b は帯域幅パラメーター
f_c はウェーブレット中心周波数

このファミリの主な性質については、MATLAB コマンドラインから「waveinfo('shan')」と入力して調べることができます。

複素 Shannon ウェーブレット shan 0.5-1