目的

推定された係数の分散と共分散から、回帰係数の推定値の精度がわかります。係数の分散とその平方根 (標準誤差) は係数の仮説検定に便利です。

定義

推定される共分散行列は次のとおりです。

ここで、MSE は平均二乗誤差、X は予測子変数に関する観測値の行列です。CoefficientCovariance は当てはめたモデルのプロパティであり、回帰係数の推定値の p 行 p 列の共分散行列です。p は回帰モデルにおける係数の数です。対角要素は各係数の分散です。

使用方法

近似モデル (mdl など) を取得した後、fitlm または stepwiselm を使用して、次の方法により係数の共分散を表示できます。

mdl.CoefficientCovariance

係数の共分散と標準誤差の計算

この例では、共分散行列と係数の標準誤差の計算方法を示します。

標本データを読み込み、予測子変数と応答変数を定義します。

load hospital
y = hospital.BloodPressure(:,1);
X = double(hospital(:,2:5));

線形回帰モデルを当てはめます。

mdl = fitlm(X,y);

係数の共分散行列を表示します。

CM = mdl.CoefficientCovariance

CM = 5×5

   27.5113   11.0027   -0.1542   -0.2444    0.2702
   11.0027    8.6864    0.0021   -0.1547   -0.0838
   -0.1542    0.0021    0.0045   -0.0001   -0.0029
   -0.2444   -0.1547   -0.0001    0.0031   -0.0026
    0.2702   -0.0838   -0.0029   -0.0026    1.0829

係数の標準誤差を計算します。

SE = diag(sqrt(CM))

SE = 5×1

    5.2451
    2.9473
    0.0673
    0.0557
    1.0406

目的

係数の信頼区間により線形回帰係数の推定の精度を測定できます。信頼区間が 100(1–α)% の場合、対応する回帰係数の信頼度の範囲は 100(1–α)% 内になります。

定義

ソフトウェアは、Wald 法を使用して信頼区間を求めます。回帰係数の 100(1 – α)% 信頼区間は、次のとおりです。

ここで、b_i は係数の推定値、SE(b_i) は係数の推定値の標準誤差、t_{(1–α/2,n–p)} は自由度が n – p の t 分布の 100(1 – α/2) 百分位数です。n は観測値の個数、p は回帰係数の個数です。

使用方法

近似モデル (mdl など) を取得した後、fitlm または stepwiselm を使用すると、次の方法で係数に対する既定の 95% 信頼区間を得ることができます。

coefCI(mdl)

次の方法で信頼水準を変更することもできます。

coefCI(mdl,alpha)

詳細については、LinearModel オブジェクトの関数 coefCI を参照してください。

係数の信頼区間の計算

この例では、信頼区間の係数を計算する方法を示します。

標本データを読み込んで線形回帰モデルを当てはめます。

load hald
mdl = fitlm(ingredients,heat);

係数の 95% 信頼区間を表示します。

coefCI(mdl)

ans = 5×2

  -99.1786  223.9893
   -0.1663    3.2685
   -1.1589    2.1792
   -1.6385    1.8423
   -1.7791    1.4910

各行の値はそれぞれ、係数の既定の 95% 信頼区間の下限と上限です。たとえば、1 行目は切片 $${\beta }_0$$ の下限と上限 (-99.1786 と 223.9893) を表しています。同様に、2 行目は $${\beta }_1$$ の下限と上限を表しています。この後の各行も同様です。

係数の 90% 信頼区間を表示します ($$\alpha$$ = 0.1)。

coefCI(mdl,0.1)

ans = 5×2

  -67.8949  192.7057
    0.1662    2.9360
   -0.8358    1.8561
   -1.3015    1.5053
   -1.4626    1.1745

信頼水準が低下すると信頼区間の範囲が狭くなります。