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ヘッセ行列

fminunc ヘッセ行列

制約のない問題のヘッセ行列は、目的関数 f の 2 次導関数の行列です。

  • "準ニュートン アルゴリズム" - fminunc は解において推定ヘッセ行列を返します。これは有限差分によって推定値を計算します。

  • "信頼領域アルゴリズム" - fminunc は最後から 2 番目の反復においてヘッセ行列を返します。

    • 目的関数にヘッセ行列を提供した場合は、fminunc はこのヘッセ行列を返します。

    • HessMult 関数を提供した場合は、fminuncHessMult 関数から Hinfo 行列を返します。詳細は、trust-region アルゴリズムのみを参照してください。

    • 上記以外の場合では、fminunc は、勾配に関してスパース有限差分アルゴリズムから近似値を返します。

    このヘッセ行列は最後から 2 つ目の反復に対して正確です。ただし、最後から 2 つ目の反復は最終点に近くないかもしれません。

    trust-region アルゴリズムが最後から 2 つ目の点でこのヘッセ行列を返すのは効率の理由によります。fminunc はこのヘッセ行列を内部的に使用して次のステップを計算します。fminunc が停止状態に達すると次のステップを計算する必要がないので、このヘッセ行列を計算しません。

fmincon ヘッセ行列

制約のある問題のヘッセ行列は、ラグランジュ行列のヘッセ行列です。目的関数 f、非線形不等式制約ベクトル c、および非線形等式制約ベクトル ceq の場合は、ラグランジュ行列は次のようになります。

λi はラグランジュ乗数です。1 次の最適性の尺度およびラグランジュ乗数構造体を参照してください。ラグランジュ行列のヘッセ行列は以下のようになります。

fmincon は 4 つのアルゴリズムをもっており、「fmincon の信頼領域 Reflective 法アルゴリズム」、「fmincon 有効制約法アルゴリズム」、および「fmincon の内点法アルゴリズム」で説明しているようにヘッセ関数に関していくつかのオプションがあります。fmincon は、ヘッセ行列に対して以下を返します。

  • "active-set または sqp アルゴリズム" - fmincon は最後から 2 番目の反復において計算したヘッセ行列の近似を返します。fmincon はその反復の過程において、解におけるヘッセ行列の準ニュートン近似を計算します。この近似は、一般的にすべてのコンポーネントの真のヘッセ行列には一致しませんが、ある特定の部分空間では一致します。したがって、fmincon が返すヘッセ行列は不正確である可能性があります。active-set 計算の詳細は、SQP 法の実装を参照してください。

  • trust-region-reflectiveアルゴリズム - fmincon は最後から 2 つ目の反復において計算したヘッセ行列を返します。

    • 目的関数にヘッセ行列を提供した場合は、fmincon はこのヘッセ行列を返します。

    • HessMult 関数を提供した場合は、fminconHessMult 関数から Hinfo 行列を返します。詳細は、信頼領域 Reflective 法アルゴリズムを参照してください。

    • 上記以外の場合では、fmincon は、勾配に関してスパース有限差分アルゴリズムから近似値を返します。

    このヘッセ行列は最後から 2 つ目の反復に対して正確です。ただし、最後から 2 つ目の反復は最終点に近くないかもしれません。

    trust-region-reflective アルゴリズムが最後から 2 つ目の点でこのヘッセ行列を返すのは効率の理由によります。fmincon はこのヘッセ行列を内部的に使用して次のステップを計算します。fmincon が停止状態に達すると次のステップを計算する必要がないので、このヘッセ行列を計算しません。

  • interior-point アルゴリズム

    • Hessian オプションが lbfgs または fin-diff-grads である場合、またはヘッセの乗算関数 (HessMult) を提供した場合は、fmincon はヘッセ行列に対して [] を返します。

    • Hessian オプションが bfgs (既定の設定) の場合、fmincon は最終点においてヘッセ行列に対して準ニュートン近似値を返します。active-set または sqp アルゴリズムが返すヘッセ行列の場合と同様に、このヘッセ行列は不正確である場合があります。

    • Hessian オプションが user-supplied の場合、fmincon は最終点においてユーザー提供のヘッセ行列を返します。

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