fminbnd

固定区間上で 1 変数からなる関数の最小値を見つける

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構文

x = fminbnd(fun,x1,x2)

x = fminbnd(fun,x1,x2,options)

x = fminbnd(problem)

[x,fval] = fminbnd(___)

[x,fval,exitflag] = fminbnd(___)

[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(___)

説明

fminbnd は、以下で指定される問題の最小値を求める 1 次元最小化関数です。

$\min_{x} f (x) such that x_{1} < x < x_{2} .$

x、x₁、x₂ は有限スカラーであり、f(x) はスカラーを返す関数です。

例

x = fminbnd(fun,x1,x2) は、区間 x1 < x < x2 で fun に記述されたスカラー値関数の局所的最小点 x を返します。

例

x = fminbnd(fun,x1,x2,options) は、options で指定された最適化オプションを使用して最小化します。これらのオプションを設定するには、optimset を使用します。

x = fminbnd(problem) は、problem の最小値を求めます。problem は構造体です。

例

[x,fval] = fminbnd(___) は、任意の入力引数について、解 x において fun で計算された目的関数の値を返します。

[x,fval,exitflag] = fminbnd(___) は、終了条件を記述する値 exitflag も返します。

例

[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(___) は、最適化の情報を含む構造体 output も返します。

例

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`sin` の最小値

ライブスクリプトを開く

関数 $\sin (x)$ が範囲 $0 < x < 2 π$ で最小値を取る点を求めます。

fun = @sin;
x1 = 0;
x2 = 2*pi;
x = fminbnd(fun,x1,x2)

x = 4.7124

精度を表示すると、これは正しい値 $x = 3 π / 2$ と同じです。

3*pi/2

ans = 4.7124

ファイルで指定された関数の最小化

スクリプトを開く

個別の関数ファイルで指定されている関数を最小化します。関数は点 x を受け入れ、x における目的関数の値を表す実数スカラーを返します。

次の関数をファイルとして記述し、そのファイルを scalarobjective.m として MATLAB® パス上に保存します。

function f = scalarobjective(x)
f = 0;
for k = -10:10
    f = f + (k+1)^2*cos(k*x)*exp(-k^2/2);
end

区間 1 <= x <= 3 で scalarobjective が最小になる x を求めます。

x = fminbnd(@scalarobjective,1,3)

x =

    2.0061

追加パラメーターを含む最小化

ライブスクリプトを開く

追加パラメーターがある場合に関数を最小化します。関数 $\sin (x - a)$ の最小値は、パラメーター $a$ の値に依存します。パラメーター $a$ の値を含む、 $x$ の無名関数を作成します。区間 $0 < x < 2 π$ でこの関数を最小化します。

a = 9/7;
fun = @(x)sin(x-a);
x = fminbnd(fun,1,2*pi)

x = 5.9981

この解は正しく、理論値は次のとおりです。

3*pi/2 + 9/7

ans = 5.9981

追加パラメーターを含める方法の詳細については、関数のパラメーター化を参照してください。

反復の監視

ライブスクリプトを開く

$0 < x < 2 π$ で fminbnd が関数 $\sin (x)$ を最小化するステップを監視します。

fun = @sin;
x1 = 0;
x2 = 2*pi;
options = optimset('Display','iter');
x = fminbnd(fun,x1,x2,options)

 
 Func-count     x          f(x)         Procedure
    1        2.39996      0.67549        initial
    2        3.88322     -0.67549        golden
    3        4.79993    -0.996171        golden
    4        5.08984    -0.929607        parabolic
    5        4.70582    -0.999978        parabolic
    6         4.7118           -1        parabolic
    7        4.71239           -1        parabolic
    8        4.71236           -1        parabolic
    9        4.71242           -1        parabolic
 
Optimization terminated:
 the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-04

x = 4.7124

最小値の位置と関数値を求める

ライブスクリプトを開く

$0 < x < 2 π$ で $\sin (x)$ が最小になる位置とその最小値を求めます。

fun = @sin;
[x,fval] = fminbnd(fun,1,2*pi)

x = 4.7124

fval = -1.0000

すべての情報を取得

ライブスクリプトを開く

すべての出力を要求して、fminbnd 解法プロセスに関するすべての情報を返します。また、プロット関数を使用して解法プロセスを監視します。

fun = @sin;
x1 = 0;
x2 = 2*pi;
options = optimset('PlotFcns',@optimplotfval);
[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(fun,x1,x2,options)

Figure Optimization Plot Function contains an axes object. The axes object with title Current Function Value: -1, xlabel Iteration, ylabel Function value contains an object of type scatter.

x = 4.7124

fval = -1.0000

exitflag = 1

output = struct with fields:
    iterations: 8
     funcCount: 9
     algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'
       message: 'Optimization terminated:...'

入力引数

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`fun` — 最小化する関数
関数ハンドル | 関数名

最小化する関数。関数ハンドルまたは関数名として指定します。fun は、実数スカラー x を受け入れ、実数スカラー f (x で評価される目的関数) を返す関数です。

fun をファイルの関数ハンドルとして指定します。

x = fminbnd(@myfun,x1,x2)

ここで myfun は次のような MATLAB^® 関数です。

function f = myfun(x)
f = ...            % Compute function value at x

fun は、無名関数の関数ハンドルとして指定することもできます。

x = fminbnd(@(x)norm(x)^2,x1,x2);

例: fun = @(x)-x*exp(-3*x)

データ型: char | function_handle | string

`x1` — 下限
有限実数スカラー

下限。有限実数スカラーとして指定します。

例: x1 = -3

データ型: double

`x2` — 上限
有限実数スカラー

上限。有限実数スカラーとして指定します。

例: x2 = 5

データ型: double

`options` — 最適化オプション
`optimset` などによって返される構造体

最適化オプション。optimset などによって返される構造体として指定します。オプション構造体のこれらのフィールドの値を設定または変更するために、optimset を使用できます。詳細については、最適化オプションの設定を参照してください。

`Display`	表示レベル (最適化ソルバーの反復表示を参照)。 `'notify'` (既定) は、関数が収束しない場合にのみ出力を表示します。 `'off'` または `'none'` は、出力を表示しません。 `'iter'` は各反復の出力を表示します。 `'final'` は最終出力のみを表示します。
`FunValCheck`	目的関数値が正しいかどうかチェックします。既定の `'off'` の場合、`fminbnd` は、目的関数が値 `complex` または `NaN` を返したときに続行できます。`'on'` の設定の場合、目的関数が値 `complex` または `NaN` を返したときにエラーをスローします。
`MaxFunEvals`	可能な関数評価の最大回数 (正の整数)。既定値は `500` です。許容誤差と停止条件を参照してください。
`MaxIter`	可能な反復の最大数 (正の整数)。既定値は `500` です。許容誤差と停止条件を参照してください。
`OutputFcn`	各反復で最適化関数が呼び出すユーザー定義の関数を 1 つか複数指定します (関数ハンドルか関数ハンドルの cell 配列として)。既定の設定はなし (`[]`) です。最適化ソルバーの出力関数を参照してください。
`PlotFcns`	アルゴリズムを実行しながら、進行中のさまざまな測定値をプロットします。事前定義済みのプロットから選択するか、自身で記述します。関数名、関数ハンドル、または、関数名か関数ハンドルの cell 配列を渡します。既定は `[]` (なし) です。 `@optimplotx` は現在の点をプロットします。 `@optimplotfunccount` は関数カウントをプロットします。 `@optimplotfval` は関数値をプロットします。カスタムプロット関数の記述については、「最適化ソルバーのプロット関数」を参照してください。
`TolX`	`x` に関する許容誤差 (正のスカラー)。既定値は `1e-4` です。許容誤差と停止条件を参照してください。

例: options = optimset('Display','iter')

データ型: struct

`problem` — 問題の構造体
構造体

問題の構造体。次のフィールドをもつ構造体として指定します。

フィールド名	要素
`objective`	目的関数
`x1`	左の端点
`x2`	右の端点
`solver`	`'fminbnd'`
`options`	`optimset` などによって返されるオプション構造体

データ型: struct

出力引数

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`x` — 解
実数スカラー

解。実数スカラーとして返されます。一般的に、exitflag が正の場合、x は問題の局所解です。

`fval` — 解における目的関数値
実数

解における目的関数値。実数として返されます。一般的に、fval = fun(x) です。

`exitflag` — `fminbnd` の停止理由
整数

fminbnd の停止理由。整数として返されます。

`1`	関数が解 `x` に収束したことを示します。
`0`	反復回数が `options.MaxIter` を超過したか、関数評価の回数が `options.MaxFunEvals` を超過しました。
`-1`	出力関数またはプロット関数によって停止しました。
`-2`	範囲に整合性がありません。つまり、`x1 > x2` です。

`output` — 最適化プロセスに関する情報
構造体

最適化プロセスに関する情報。次のフィールドをもつ構造体として返されます。

`iterations`	実行した反復回数
`funcCount`	関数評価の回数
`algorithm`	`'golden section search, parabolic interpolation'`
`message`	終了メッセージ

制限

最小化する関数は、連続でなければなりません。
fminbnd は局所解のみを返す場合があります。
関数 fminbnd は、解が区間の境界上にあるときに遅い収束を示すことがあります。

アルゴリズム

fminbnd は関数ファイルです。そのアルゴリズムは黄金分割探索と放物線内挿に基づいています。左の端点 x₁ が右の端点 x₂ と極めて近接している場合を除き、fminbnd はこれらの端点で fun を評価しません。したがって、区間 x₁ < x < x₂ における x に対して fun を定義するだけですみます。

最小値が実際に x₁ または x₂ で発生する場合、fminbnd は区間 (x₁,x₂) の内側にあり最小点に近い点 x を返します。この場合、最小点から x までの距離は 2*(TolX + 3*abs(x)*sqrt(eps)) 以下です。アルゴリズムの詳細については、[1]または[2]を参照してください。

代替機能

アプリ

[最適化] ライブエディタータスクは、fminbnd のビジュアルインターフェイスを提供します。

参照

[1] Forsythe, G. E., M. A. Malcolm, and C. B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1976.

[2] Brent, Richard. P. Algorithms for Minimization without Derivatives. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1973.

拡張機能

C/C++ コード生成
MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

C/C++ コード生成の場合:

fminbnd は問題の構造体引数をサポートしません。
fminbnd は Display オプションを無視し、反復表示または終了メッセージを出力しません。解の質をチェックするには、終了フラグを確認します。
出力構造体には algorithm または message フィールドが含まれません。
fminbnd は OutputFcn および PlotFcns オプションを無視します。

スレッドベースの環境
MATLAB® の `backgroundPool` を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の `ThreadPool` を使用してコードを高速化します。

この関数はスレッドベースの環境を完全にサポートしています。詳細については、スレッドベースの環境での MATLAB 関数の実行を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

fminsearch | fzero | optimset | 最適化

fminbnd

構文

説明

例

sin の最小値

ファイルで指定された関数の最小化

追加パラメーターを含む最小化

反復の監視

最小値の位置と関数値を求める

すべての情報を取得

入力引数

fun — 最小化する関数 関数ハンドル | 関数名

x1 — 下限 有限実数スカラー

x2 — 上限 有限実数スカラー

options — 最適化オプション optimset などによって返される構造体

problem — 問題の構造体 構造体

出力引数

x — 解 実数スカラー

fval — 解における目的関数値 実数

exitflag — fminbnd の停止理由 整数

output — 最適化プロセスに関する情報 構造体

制限

アルゴリズム

代替機能

アプリ

参照

拡張機能

C/C++ コード生成 MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

スレッドベースの環境 MATLAB® の backgroundPool を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の ThreadPool を使用してコードを高速化します。

バージョン履歴

参考

トピック

`sin` の最小値

`fun` — 最小化する関数
関数ハンドル | 関数名

`x1` — 下限
有限実数スカラー

`x2` — 上限
有限実数スカラー

`options` — 最適化オプション
`optimset` などによって返される構造体

`problem` — 問題の構造体
構造体

`x` — 解
実数スカラー

`fval` — 解における目的関数値
実数

`exitflag` — `fminbnd` の停止理由
整数

`output` — 最適化プロセスに関する情報
構造体

C/C++ コード生成
MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

スレッドベースの環境
MATLAB® の `backgroundPool` を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の `ThreadPool` を使用してコードを高速化します。