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構文

Y = expm(X)

説明

Y = expm(X) は、X の行列指数を計算します。

この方法では計算されませんが、X に、対応する固有値 D をもつ固有ベクトル V のフルセットがある場合、以下のようになります。

[V,D] = EIG(X) and EXPM(X) = V*diag(exp(diag(D)))/V

要素単位での指数計算には、関数 exp を使ってください。

この例は、A の行列指数と A の指数を計算および比較します。

A = [1        1        0
     0        0        2
     0        0       -1 ];

expm(A) 
ans = 
    2.7183   1.7183        1.0862
    0        1.0000        1.2642
    0             0        0.3679

exp(A)
ans = 
    2.7183        2.7183        1.0000
    1.0000        1.0000        7.3891
    1.0000        1.0000        0.3679

2 つの結果の対角要素が等しいことに注目してください。このことは、どんな三角行列に対しても成り立ちます。しかし、主対角の下側を含め、対角要素以外の値は異なります。

詳細

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アルゴリズム

関数 expm は、スケーリングと平方計算によるアルゴリズムを使ったパデ近似を行います。以下の参考文献「[3]」を参照してください。

    メモ:   ファイル expmdemo1.mexpmdemo1.mexpmdemo2.mexpmdemo2.m および expmdemo3.mexpmdemo3.m は、パデ近似、テイラー級数近似、固有値と固有ベクトルをそれぞれ使って、行列の指数を計算します。参考文献 [1][2] に、行列指数の計算に対するさまざまなアルゴリズムとそれらの比較が記述されています。

参照

[1] Golub, G. H. and C. F. Van Loan, Matrix Computation, p. 384, Johns Hopkins University Press, 1983.

[2] Moler, C. B. and C. F. Van Loan, “Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix,” SIAM Review 20, 1978, pp. 801–836. Reprinted and updated as “Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later,” SIAM Review 45, 2003, pp. 3–49.

[3] Higham, N. J., “The Scaling and Squaring Method for the Matrix Exponential Revisited,” SIAM J. Matrix Anal. Appl., 26(4) (2005), pp. 1179–1193.

参考

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