ellipj

ヤコビ楕円関数

構文

[SN,CN,DN] = ellipj(U,M)

[SN,CN,DN] = ellipj(U,M,tol)

説明

[SN,CN,DN] = ellipj(U,M) は、引数 U とパラメーター M の対応要素に関して評価された、ヤコビ楕円関数 SN、CN、DN を返します。入力 U と M は同じサイズであるか、U または M のいずれかがスカラーでなければなりません。

例

[SN,CN,DN] = ellipj(U,M,tol) は、精度 tol でヤコビ楕円関数を計算します。tol の既定値は eps です。tol を大きくすると計算精度は低くなりますが、より高速に計算が行われます。

例

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ヤコビ楕円関数の検出

ライブスクリプトを開く

U = 0.5 および M = 0.25 であるヤコビ楕円関数を求めます。

[s,c,d] = ellipj(0.5,0.25)

s = 0.4751

c = 0.8799

d = 0.9714

ヤコビ楕円関数のプロット

ライブスクリプトを開く

-5≤U≤5 および M = 0.7 であるヤコビ楕円関数をプロットします。

M = 0.7;
U = -5:0.01:5;
[S,C,D] = ellipj(U,M);
plot(U,S,U,C,U,D);
legend('SN','CN','DN','Location','best')
grid on
title('Jacobi Elliptic Functions sn,cn,dn')

Figure contains an axes object. The axes object with title Jacobi Elliptic Functions sn,cn,dn contains 3 objects of type line. These objects represent SN, CN, DN.

ヤコビ楕円関数 sn の表面プロットの生成

ライブスクリプトを開く

M の許容範囲および -5≤U≤5 でヤコビ楕円関数 sn の表面プロットを生成します。

[M,U] = meshgrid(0:0.1:1,-5:0.1:5);
S = ellipj(U,M);
surf(U,M,S)
xlabel('U')
ylabel('M')
zlabel('sn')
title('Surface Plot of Jacobi Elliptic Function sn')

Figure contains an axes object. The axes object with title Surface Plot of Jacobi Elliptic Function sn, xlabel U, ylabel M contains an object of type surface.

許容誤差の変更によるヤコビ楕円積分の高速計算

ライブスクリプトを開く

tol の既定値は eps です。任意の M に対して既定値を用いた実行時間を tic と toc を使用して取得します。tol を 1000 倍に増やして実行時間を取得します。実行時間を比較します。

tic
ellipj(0.253,0.937)

ans = 0.2479

toc

Elapsed time is 0.092168 seconds.

tic
ellipj(0.253,0.937,eps*1000)

ans = 0.2479

toc

Elapsed time is 0.015972 seconds.

許容誤差を大幅に増やすと、ellipj は非常に速く実行されます。

入力引数

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`U` — 入力配列
スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

入力配列。スカラー、ベクトル、行列または多次元配列として指定します。U は実数値に制限されます。U が非スカラーの場合、M はスカラーであるか、U と同じサイズの非スカラーでなければなりません。

データ型: single | double

`M` — 入力配列
スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

入力配列。スカラー、ベクトル、行列または多次元配列として指定します。M は 0≤ m ≤1 の値をとることができます。M が非スカラーの場合、U はスカラーであるか、M と同じサイズの非スカラーでなければなりません。M のその他の値は、[1] に記載されている変換式 16.10 と 16.11 を使用して、この範囲にマッピングします。

データ型: single | double

`tol` — 結果の精度
`eps` (既定値) | 非負の実数

結果の精度。非負の実数として指定します。既定値は eps です。

出力引数

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`SN` — ヤコビ楕円関数の sn
スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

ヤコビ楕円関数の sn。スカラー、ベクトル、行列または多次元配列として返されます。

`CN` — ヤコビ楕円関数の cn
スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

ヤコビ楕円関数の cn。スカラー、ベクトル、行列または多次元配列として返されます。

`DN` — ヤコビ楕円関数の dn
スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

ヤコビ楕円関数の dn。スカラー、ベクトル、行列または多次元配列として返されます。

詳細

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ヤコビ楕円関数

ヤコビ楕円関数は、積分項で定義されます。

$u = \int_{0}^{ϕ} \frac{d θ}{\sqrt{1 - m \sin^{2} θ}} .$

以下のようになります。

$s n (u) = \sin ϕ, c n (u) = \cos ϕ, d n (u) = \sqrt{1 - m \sin^{2} ϕ} .$

いくつかの楕円関数の定義では、パラメーター m の代わりに楕円係数 k またはモジュラー角 α を使用します。次式のような関係があります。

$k^{2} = m = \sin^{2} a .$

ヤコビ楕円関数は、多くの数学的な恒等式に従います。良い例については、[1]を参照してください。

アルゴリズム

ellipj は、[1]の算術幾何平均を使って、ヤコビ楕円関数を計算します。3 つの値から始めます。

$a_{0} = 1, b_{0} = \sqrt{1 - m}, c_{0} = \sqrt{m} .$

ellipj は以下の式を使用して次の反復を計算します。

$\begin{array}{l} a_{i} = \frac{1}{2} (a_{i - 1} + b_{i - 1}) \\ b_{i} = (^{a_{i - 1} b_{i - 1}) \frac{1}{2}} \\ c_{i} = \frac{1}{2} (a_{i - 1} - b_{i - 1}) . \end{array}$

次に、以下の式でラジアン単位で振幅を計算します。

$\sin (2 ϕ_{n - 1} - ϕ_{n}) = \frac{c_{n}}{a_{n}} \sin (ϕ_{n}),$

このとき、位相の連続性に注意してください。ヤコビ楕円関数は、簡単に以下の式で表されます。

$\begin{array}{l} s n (u) = \sin ϕ_{0} \\ c n (u) = \cos ϕ_{0} \\ d n (u) = \sqrt{1 - m \cdot s n {(u)}^{2}} . \end{array}$

参照

[1] Abramowitz, M. and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1965, 17.6.

拡張機能

スレッドベースの環境
MATLAB® の `backgroundPool` を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の `ThreadPool` を使用してコードを高速化します。

この関数はスレッドベースの環境を完全にサポートしています。詳細については、スレッドベースの環境での MATLAB 関数の実行を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

ellipke

ellipj

構文

説明

例

ヤコビ楕円関数の検出

ヤコビ楕円関数のプロット

ヤコビ楕円関数 sn の表面プロットの生成

許容誤差の変更によるヤコビ楕円積分の高速計算

入力引数

U — 入力配列 スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

M — 入力配列 スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

tol — 結果の精度 eps (既定値) | 非負の実数

出力引数

SN — ヤコビ楕円関数の sn スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

CN — ヤコビ楕円関数の cn スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

DN — ヤコビ楕円関数の dn スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

詳細

ヤコビ楕円関数

アルゴリズム

参照

拡張機能

スレッドベースの環境 MATLAB® の backgroundPool を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の ThreadPool を使用してコードを高速化します。

バージョン履歴

参考

`U` — 入力配列
スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

`M` — 入力配列
スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

`tol` — 結果の精度
`eps` (既定値) | 非負の実数

`SN` — ヤコビ楕円関数の sn
スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

`CN` — ヤコビ楕円関数の cn
スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

`DN` — ヤコビ楕円関数の dn
スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

スレッドベースの環境
MATLAB® の `backgroundPool` を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の `ThreadPool` を使用してコードを高速化します。