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べき乗と指数

正の整数のべき乗

A が正方行列で p が正の整数の場合、A^pAp-1 回乗算します。以下に例を示します。

A = [1 1 1;1 2 3;1 3 6]

A =

     1     1     1
     1     2     3
     1     3     6

X = A^2

X =
     3     6    10
     6    14    25
    10    25    46

逆数と分数のべき乗

A が正方行列で特異でない場合、A^(-p)inv(A)p-1 回乗算します。

Y = A^(-3)

Y =

  145.0000 -207.0000   81.0000
 -207.0000  298.0000 -117.0000
   81.0000 -117.0000   46.0000

A^(2/3) のような分数のべき乗も計算可能です。結果は行列の固有値の分布によって異なります。

要素単位のべき乗

要素単位のべき乗は .^ 演算子で行われます。以下に例を示します。

X = A.^2

A =
     1     1     1
     1     4     9
     1     9    36

指数

関数

sqrtm(A)

は、正確なアルゴリズムを使って A^(1/2) を計算します。関数 sqrtmm は、A.^(1/2) と同じように要素単位の積を求める関数 sqrt(A) と、この関数を区別するために付けられています。

定数係数線形常微分方程式は、次のように表現されます。

dx/dt = Ax,

ここで x = x(t) は t の関数ベクトルで、A は t に対して独立した行列です。解は指数行列として表現されます。

x(t) = etAx(0).

関数

expm(A)

は指数行列を計算します。例として次の 3 行 3 列の係数行列を考えます。

A =
     0    -6    -1
     6     2   -16
    -5    20   -10

初期条件 x(0) は次のように考えます。

x0 =
     1
     1
     1

指数行列を使用して、0 ≤ t ≤ 1 の区間の 101 点で微分方程式の解 x(t) を計算します。

X = [];
for t = 0:.01:1
   X = [X expm(t*A)*x0]; 
end

3 次元位相空間プロットを作成します。

plot3(X(1,:),X(2,:),X(3,:),'-o')

このプロットは解が原点に対して螺旋状になることを示しています。この動作は次の節で説明する係数行列の固有値に関連しています。

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