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norm

線形モデルのノルム

構文

n = norm(sys)
n = norm(sys,2)
n = norm(sys,inf)
[n,fpeak] = norm(sys,inf)
[...] = norm(sys,inf,tol)

説明

n = norm(sys) または n = norm(sys,2) は、線形動的システム モデル sysH2 ノルムを返します。

n = norm(sys,inf)sysH ノルムを返します。

[n,fpeak] = norm(sys,inf) は、ゲインがそのピーク値となる周波数 fpeak も出力します。

[...] = norm(sys,inf,tol) は H ノルムの相対精度を tol に設定します。

入力引数

sys

連続時間または離散時間線形動的システム モデル。sys は線形モデルの配列にもなります。

tol

H ノルムの相対精度を設定する正の実数値。

既定値: 0.01

出力引数

n

線形モデル sysH2 ノルムまたはH ノルム

sys が線形モデルの配列の場合、nsys と同じサイズの配列となります。その場合、n のそれぞれのエントリは sys のそれぞれのエントリのノルムになります。

fpeak

sys のピーク ゲインが出現する周波数。

この例は、離散時間線形システムの H2 と H を計算するために norm を使用します。

離散時間伝達関数を考えてみましょう。

サンプル時間は 0.1 秒です。

この伝達関数の H2 ノルムを計算するには、次を入力します。

H = tf([1 -2.841 2.875 -1.004],[1 -2.417 2.003 -0.5488],0.1)
norm(H)

これらのコマンドは、以下の結果を返します。

ans =
    1.2438

H 無限大ノルムを計算するには、次を入力します。

[ninf,fpeak] = norm(H,inf)

このコマンドは次の結果を返します。

ninf =
    2.5488
 
fpeak =
    3.0844

H(z) のボード線図を使用してこれらの値を確認できます。

bode(H)
grid on;

ゲインは約 3 ラジアン/秒でピークに達します。dB 単位のピーク値を見つけるには、次のように入力します。

20*log10(ninf)

このコマンドにより以下の結果が出力されます。

ans =
    8.1268

詳細

すべて展開する

H2 ノルム

伝達関数 H(s) のある安定した連続時間システム H2 ノルムは、次によって提供されます。

伝達関数 H(z) のある離散時間システムの場合、H2 ノルムは次によって提供されます。

H2 ノルムは、システムのインパルス応答の二乗平均平方根と同じです。H2 ノルムは、ホワイト ノイズ入力 w に対する出力応答 y = Hw の定常状態共分散 (またはパワー) を測定します。

H2 ノルムは次の場合に無限大になります。

  • sys が不安定である

  • sys が連続で、非零のフィードスルー (周波数 ω = ∞ で非零のゲイン) をもつ

norm(sys) は、以下と同じ結果になります。

sqrt(trace(covar(sys,1)))

H∞ノルム

SISO 線形システムの H ノルム (L ノルムともいう) は、周波数応答のピーク ゲインです。MIMO システムの場合、H ノルムはすべての入出力チャンネルにわたるピーク ゲインです。つまり、連続時間システム H(s) の場合、H ノルムは次によって提供されます。

ここで σmax(· ) は行列の最大特異値を示します。

離散時間システム H(z) の場合:

H ノルムは、sys の虚軸に極があるか (連続時間) 、単位円に極がある (離散時間) 場合に無限大になります。

アルゴリズム

norm は、まず sys を状態空間モデルに変換します。

norm は H2 ノルムに対する covar と同じアルゴリズムを使用します。H ノルムの場合、norm は「[1]」のアルゴリズムを使用します。norm は SLICOT ライブラリを使用して H ノルム (ピーク ゲイン) を計算します。SLICOT ライブラリの詳細は、http://slicot.org を参照してください。

参考文献

[1] Bruisma, N.A. and M. Steinbuch, "A Fast Algorithm to Compute the H-Norm of a Transfer Function Matrix," System Control Letters, 14 (1990), pp. 287-293.

参考

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