lqrd

連続プラントの離散線形 2 次 (LQ) レギュレーターを設計

構文

lqrd [Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R,Ts) [Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R,N,Ts)

説明

lqrd は lqr で設計した連続状態フィードバックレギュレーターと同じ応答特性をもつ離散全状態フィードバックレギュレーターを設計します。このコマンドは、条件を満たす連続状態フィードバックゲインを設計した後でデジタル実装のゲイン行列を設計する場合に便利です。

[Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R,Ts) は以下の離散状態フィードバック則を計算します。

$u [n] = - K_{d} x [n]$

これは以下の連続コスト関数と等価な離散コスト関数を最小化します。

$J = \int_{0}^{\infty} (x^{T} Q x + u^{T} R u) d t$

行列 A および B は、以下の連続プラントのダイナミクスを指定します。

$\dot{x} = A x + B u$

また、Ts は離散レギュレーターのサンプル時間を指定します。離散化された問題の離散リカッチ方程式の解 S および離散閉ループ固有値 e = eig(Ad-Bd*Kd) も返されます。

[Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R,N,Ts) はコスト関数に相互干渉項が含まれる、より一般的な問題の解を求めます。

$J = \int_{0}^{\infty} (x^{T} Q x + u^{T} R u + 2 x^{T} N u) d t$

制限

離散化された問題のデータは、dlqr の要件を満たす必要があります。

アルゴリズム

等価の離散ゲイン行列 Kd は、サンプル時間 Ts とゼロ次ホールドによる近似を用いて連続プラントと重み行列を離散化することによって決定されます。

以下の表記を使用します。

$\begin{matrix} Φ (τ) = e^{A τ}, & A_{d} = Φ (T_{s}) \\ Γ (τ) = \int_{0}^{τ} e^{A η} B d η, & B_{d} = Γ (T_{s}) \end{matrix}$

離散化されたプラントの方程式は次のようになります。

$x [n + 1] = A_{d} x [n] + B_{d} u [n]$

また、等価の離散コスト関数の重み行列は次のようになります。

$[\begin{matrix} Q_{d} & N_{d} \\ N_{d}^{T} & R_{d} \end{matrix}] = \int_{0}^{T_{s}} [\begin{matrix} Φ^{T} (τ) & 0 \\ Γ^{T} (τ) & I \end{matrix}] [\begin{matrix} Q & N \\ N^{T} & R \end{matrix}] [\begin{matrix} Φ (τ) & Γ (τ) \\ 0 & I \end{matrix}] d τ$

積分は、Van Loan の行列指数式を使用して計算されます ([2] を参照)。プラントは c2d を使用して離散化され、ゲイン行列は dlqr を使用した離散化データから計算されます。

参考文献

[1] Franklin, G.F., J.D. Powell, and M.L. Workman, Digital Control of Dynamic Systems, Second Edition, Addison-Wesley, 1980, pp. 439-440.

[2] Van Loan, C.F., "Computing Integrals Involving the Matrix Exponential," IEEE^® Trans. Automatic Control, AC-23, June 1978.

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

c2d | dlqr | kalmd | lqr