lqi

線形 2 次積分制御

構文

[K,S,e] = lqi(SYS,Q,R,N)

説明

lqi は、次の図に示すトラッキングループに対する最適な状態フィードバック制御則を計算します。

プラント sys に次の状態空間方程式 (または離散時間での等価な方程式) が成り立つとします。

$\begin{array}{l} \frac{d x}{d t} = A x + B u \\ y = C x + D u \end{array}$

状態フィードバック制御は、次の形式となります。

$u = - K [x; x_{i}]$

ここで、x_i は積分器の出力です。この制御則は、出力 y が設定値 r を追従するようにします。MIMO システムの場合、積分器の数は、出力 y の次元と同じです。

[K,S,e] = lqi(SYS,Q,R,N) は、プラントの状態空間モデル SYS と重み行列 Q、R、N とで最適なゲイン行列 K を計算します。制御則 u = –Kz = –K[x;x_i] は、次のコスト関数を最小化します (r = 0 の場合)

$J (u) = \int_{0}^{\infty} {z^{T} Q z + u^{T} R u + 2 z^{T} N u} d t$ (連続時間)
$J (u) = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^{T} Q z + u^{T} R u + 2 z^{T} N u}$ (離散時間)

離散時間の場合、lqi は次の前進オイラー式を使用して積分器の出力 x_i を計算します。

$x_{i} [n + 1] = x_{i} [n] + T s (r [n] - y [n])$

ここで、Ts は SYS のサンプル時間です。

行列 N を省略すると、N は 0 に設定されます。また lqi は、関連する代数リカッチ方程式の解 S と閉ループの固有値 e を返します。

制限

拡張された積分器をもつプラントで、次の状態空間システムを考えます。

$\begin{array}{l} \frac{δ z}{δ t} = A_{a} z + B_{a} u \\ y = C_{a} z + D_{a} u \end{array}$

問題のデータは以下の条件を満たさなければなりません。

(A,B) のペアは可安定でなければならない。
R は正定値でなければならない。
$[\begin{matrix} Q & N \\ N^{T} & R \end{matrix}]$ は半正定値 (つまり $Q - N R^{- 1} N^{T} \geq 0$ ) でなければならない。
$(Q - N R^{- 1} N^{T}, A_{a} - B_{a} R^{- 1} N^{T})$ の虚軸 (離散時間の場合は単位円) に不可観測モードがあってはならない。

ヒント

lqi は正則な E をもつ記述子モデルをサポートします。lqi の出力 S は、次の等価な陽的状態空間モデルに対するリカッチ方程式の解です。

$\frac{d x}{d t} = E^{- 1} A x + E^{- 1} B u$

参考文献

[1] P. C. Young and J. C. Willems, "An approach to the linear multivariable servomechanism problem", International Journal of Control, Volume 15, Issue 5, May 1972 , pages 961–979.

バージョン履歴

R2008b で導入

参考