Control System Toolbox

最新のリリースでは、このページがまだ翻訳されていません。 このページの最新版は英語でご覧になれます。

DC モーター制御

この例では、設定点コマンドに追従し、負荷外乱に対する感度を下げるための、3 つの DC モーター制御手法を比較します。

  • フィードフォワード指令

  • 積分フィードバック制御

  • LQR レギュレーション

DC モーター モデルの詳細は、「ご利用の前に: モデルの作成」を参照してください。

問題の定義

電機子制御の DC モーターでは、印加電圧 Va によってシャフトの角速度 w が制御されます。

この例では、負荷変動 (モーター負荷に抗するトルクの変化) に対する感度 w を下げる、2 つの DC モーター制御の手法を示します。

DC モーターの簡易モデルを上図に示しています。トルク Td は、負荷変動をモデル化します。このような変動によって誘発される速度変化を最小限に抑えなければなりません。

この例では、以下の物理定数を使用します。

R = 2.0;                % Ohms
L = 0.5;                % Henrys
Km = 0.1; Kb = 0.1;     % torque and back emf constants
Kf = 0.2;               % Nms
J = 0.02;               % kg.m^2/s^2

最初に、2 つの入力 (Va、Td) と 1 つの出力 (w) を使用して、DC モーターの状態空間モデルを作成します。

h1 = tf(Km,[L R]);            % armature
h2 = tf(1,[J Kf]);            % eqn of motion

dcm = ss(h2) * [h1 , 1];      % w = h2 * (h1*Va + Td)
dcm = feedback(dcm,Kb,1,1);   % close back emf loop

メモ: モデルの次数を最小限に抑えるために状態空間形式を使用して計算します。

ここで、電圧 Va のステップ変化に対する角速度応答をプロットします。

stepplot(dcm(1));

プロットを右クリックし、[特性: 整定時間] を選択して、整定時間を表示します。

フィードフォワード DC モーター制御の設計

この簡単なフィードフォワード制御構造を使用すると、角速度 w を所定の値 w_ref に設定できます。

フィードフォワード ゲイン Kff は、Va から w への DC ゲインの逆数に設定する必要があります。

Kff = 1/dcgain(dcm(1))
Kff =

    4.1000

負荷変動を考慮してフィードフォワード設計を評価するには、変動 Td = -0.1Nm (t=5 から t=10 秒の間) として、ステップ コマンド w_ref=1 に対する応答をシミュレートします。

t = 0:0.1:15;
Td = -0.1 * (t>5 & t<10);       % load disturbance
u = [ones(size(t)) ; Td];       % w_ref=1 and Td

cl_ff = dcm * diag([Kff,1]);    % add feedforward gain
set(cl_ff,'InputName',{'w_ref','Td'},'OutputName','w');

h = lsimplot(cl_ff,u,t);
title('Setpoint tracking and disturbance rejection')
legend('cl\_ff')

% Annotate plot
line([5,5],[.2,.3]); line([10,10],[.2,.3]);
text(7.5,.25,{'disturbance','T_d = -0.1Nm'},...
            'vertic','middle','horiz','center','color','r');

明らかに、フィードフォワード制御では負荷変動にうまく対処できません。

フィードバック DC モーター制御の設計

次に、以下のフィードバック制御構造を試してみます。

定常偏差をゼロにするには、以下の形式の積分制御を使用します。

     C(s) = K/s
     where K is to be determined.

開ループ 1/s * transfer(Va->w) に適用される根軌跡法を使用すれば、ゲイン K を決めることができます。

h = rlocusplot(tf(1,[1 0]) * dcm(1));
setoptions(h,'FreqUnits','rad/s');
set(gca,'Xlim',[-15 5],'Ylim',[-15 15]);

曲線をクリックして、ゲイン値と関連情報を読み取ります。ここで適切な選択は、K = 5 です。SISO 設計ツールには、このような設計に使用できる統合 GUI が用意されています (詳細は、ヘルプ sisotool を参照)。

この新しい設計を、同じテスト ケースの最初のフィードフォワード設計と比較します。

K = 5;
C = tf(K,[1 0]);            % compensator K/s

cl_rloc = feedback(dcm * append(C,1),1,1,1);
h = lsimplot(cl_ff,cl_rloc,u,t);
set(cl_rloc,'InputName',{'w_ref','Td'},'OutputName','w');
title('Setpoint tracking and disturbance rejection')
legend('feedforward','feedback w/ rlocus','Location','NorthWest')

根軌跡設計の方が負荷外乱の抑制に適しています。

LQR DC モーター制御の設計

さらに性能を改善するために、以下のようなフィードバック構造に対する線形 2 次制御器 (LQR) の設計を試してみます。

LQR スキームでは、誤差の積分のほかに、状態ベクトル x=(i,w) を使用して駆動電圧 Va を合成します。その結果、電圧は以下のような形式になります。

     Va = K1 * w + K2 * w/s + K3 * i
     where i is the armature current.

良好な外乱の抑制を得るために、コスト関数を使用して大きい積分誤差を抑制します。たとえば以下のコスト関数があります。

$$ C = \int^\infty_0 (20q(t)^2+\omega(t)^2+0.01V_a(t)^2) dt $$

ここで、

$$ q(s) = \omega(s)/s. $$

このコスト関数にとって最適な LQR ゲインは、以下のように計算されます。

dc_aug = [1 ; tf(1,[1 0])] * dcm(1); % add output w/s to DC motor model

K_lqr = lqry(dc_aug,[1 0;0 20],0.01);

次に、シミュレーション目的の閉ループ モデルを導出します。

P = augstate(dcm);                     % inputs:Va,Td  outputs:w,x
C = K_lqr * append(tf(1,[1 0]),1,1);   % compensator including 1/s
OL = P * append(C,1);                  % open loop

CL = feedback(OL,eye(3),1:3,1:3);      % close feedback loops
cl_lqr = CL(1,[1 4]);                  % extract transfer (w_ref,Td)->w

これは、3 つの DC モーター制御設計の閉ループ ボード線図を比較するプロットです。

bodeplot(cl_ff,cl_rloc,cl_lqr);

曲線をクリックし、システムを特定するか、データを調べます。

DC モーター制御設計の比較

最後に、シミュレーション テスト ケースで DC モーター制御の 3 つの設計を比較します。

h = lsimplot(cl_ff,cl_rloc,cl_lqr,u,t);
title('Setpoint tracking and disturbance rejection')
legend('feedforward','feedback (rlocus)','feedback (LQR)','Location','NorthWest')

LQR 補償器では自由度が高くなるため、負荷外乱が最も効果的に抑制されます (ここで扱った DC モーター制御の 3 つの設計の中で)。