1 段フィルター処理: Approximation および Detail

多くの信号では、低周波数成分は最も重要な部分です。信号にそのアイデンティティをもたらしているものです。一方、高周波数成分は、風味やニュアンスを付与します。人の声について考えます。高周波数成分を取り除くと、声は違って聞こえますが、話している内容はまだ伝わります。しかし、低周波数成分をある程度取り除くと、意味が伝わらなくなります。

ウェーブレット解析では、"Approximation" と "Detail" がよく話題になります。Approximation は、信号の高スケール、低周波数成分です。Detail は、信号の低スケール、高周波数成分です。

フィルター処理のプロセスは、最も基本的なレベルでは、このように見えます。

元の信号 S が 2 つの相補フィルターを通過し、2 つの信号として現れています。

残念ながら、この操作を実際に現実のデジタル信号について行うと、結果は開始時点の 2 倍のデータになります。たとえば、元の信号 S が 1000 のサンプルのデータで構成されているとします。その場合、結果の信号は、それぞれが 1000 サンプルで、合計 2000 となります。

これらの信号 A および信号 D は興味深くはありますが、最初の 1000 から 2000 の値になっています。ウェーブレットを使用して分解を行う、もう少し巧妙な方法があります。計算を注意深く見ると、2 つの長さ 2000 のサンプルそれぞれから、2 つの点のうち 1 つだけを残しても完全な情報が得られる可能性があります。これがダウンサンプリングの考え方です。cA および cD という 2 つのシーケンスを生成します。

ダウンサンプリングを含む右のプロセスは、DWT 係数を生成します。

このプロセスをよりよく理解するために、信号の 1 ステージ離散ウェーブレット変換を実行してみましょう。信号は純粋な正弦波に高周波数ノイズを付加したものになります。

実際の信号を挿入した図を示します。

s、cD、および cA の生成に必要な MATLAB^® コードは、

s
= sin(20.*linspace(0,pi,1000)) + 0.5.*rand(1,1000);
[cA,cD] = dwt(s,'db2');

ここで、db2 は解析に使用するウェーブレットの名前です。

Detail 係数 cD は小さく、主に高周波数ノイズで構成されていますが、Approximation 係数 cA は元の信号よりはるかに少ないノイズしか含んでいません。

[length(cA) length(cD)]

ans =
   501  501

Detail 係数ベクトルおよび Approximation 係数ベクトルの実際の長さが、元の信号の長さの半分より少し長いことがわかると思います。これはフィルタリング プロセスに関係しており、フィルターを使用した信号の畳み込みによって実装されています。信号の畳み込みは信号を "不鮮明" にし、いくつかの追加サンプルが結果に導入されます。

複数レベルの分解

分解のプロセスは、連続した Approximation が順次分解されることで、1 つの信号が多数の低解像度成分に分類されるよう反復されます。これは、"ウェーブレット分解ツリー" と呼ばれます。

信号のウェーブレット分解ツリーを見ると、貴重な情報が得られます。