対数正規分布

概要

対数正規分布 (Galton 分布と呼ばれることもあります) は、対数が正規分布に従う確率分布です。log(x) が存在するのは x が正である場合だけなので、対数正規分布は対象となる数量が必ず正である場合に適用できます。

Statistics and Machine Learning Toolbox™ には、対数正規分布を処理する方法がいくつか用意されています。

確率分布を標本データに当てはめる (fitdist) かパラメーター値を指定する (makedist) ことにより、確率分布オブジェクト LognormalDistribution を作成します。そして、オブジェクト関数を使用して、分布の評価や乱数の生成などを行います。
分布フィッターアプリを使用して、対数正規分布を対話的に処理します。オブジェクトをアプリからエクスポートしてオブジェクト関数を使用できます。
分布パラメーターを指定して、分布特有の関数 (logncdf、lognpdf、logninv、lognlike、lognstat、lognfit、lognrnd) を使用します。分布特有の関数では、複数の対数正規分布についてのパラメーターを受け入れることができます。
分布名 ('Lognormal') とパラメーターを指定して、汎用の分布関数 (cdf、icdf、pdf、random) を使用します。

パラメーター

対数正規分布は、次のパラメーターを使用します。

パラメーター	説明	サポート
`mu` (μ)	対数値の平均	$- \infty < μ < \infty$
`sigma` (σ)	対数値の標準偏差	$σ \geq 0$

X がパラメーター µ および σ をもつ対数正規分布に従う場合、log(X) は平均 µ および標準偏差 σ をもつ正規分布に従います。

パラメーター推定

対数正規分布をデータに当てはめてパラメーター推定を求めるには、lognfit、fitdist または mle を使用します。

打ち切りがないデータの場合、lognfit と fitdist は分布パラメーターの不偏推定量を、mle は最尤推定量を求めます。
打ち切りがあるデータの場合、lognfit、fitdist および mle は最尤推定量を求めます。

パラメーター推定を返す lognfit および mle と異なり、fitdist は当てはめた確率分布オブジェクト LognormalDistribution を返します。オブジェクトプロパティ mu および sigma にはパラメーター推定が格納されます。

記述統計

対数正規確率変数の平均 m と分散 v は、対数正規分布パラメーター µ および σ の関数です。

$\begin{array}{l} m = \exp (μ + σ^{2} / 2) \\ v = \exp (2 μ + σ^{2}) (\exp (σ^{2}) - 1) \end{array}$

また、対数正規分布のパラメーター µ および σ は、平均 m と分散 v から計算できます。

$\begin{array}{l} μ = \log (m^{2} / \sqrt{v + m^{2}}) \\ σ = \sqrt{\log (v / m^{2} + 1)} \end{array}$

確率密度関数

対数正規分布の確率密度関数 (pdf) は次のようになります。

$y = f (x | μ, σ) = \frac{1}{x σ \sqrt{2 π}} \exp {\frac{- {(\log x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}, for x > 0.$

たとえば、対数正規分布の確率密度関数の計算を参照してください。

累積分布関数

対数正規分布の累積分布関数 (cdf) は次のようになります。

$p = F (x | μ, σ) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \int_{0}^{x} \frac{1}{t} \exp {\frac{- {(\log t - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}} d t, for x > 0.$

たとえば、対数正規分布の累積分布関数の計算を参照してください。

例

対数正規分布の確率密度関数の計算

ライブスクリプトを開く

米国の 4 人家族の収入が mu = log(20,000) および sigma = 1 である対数正規分布に従っているものとします。収入の密度を計算してプロットします。

パラメーター値を指定して対数正規分布オブジェクトを作成します。

pd = makedist('Lognormal','mu',log(20000),'sigma',1)

pd = 
  LognormalDistribution

  Lognormal distribution
       mu = 9.90349
    sigma =       1

pdf の値を計算します。

x = (10:1000:125010)';
y = pdf(pd,x);

確率密度関数をプロットします。

plot(x,y)
h = gca;
h.XTick = [0 30000 60000 90000 120000];
h.XTickLabel = {'0','$30,000','$60,000',...
                    '$90,000','$120,000'};

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type line.

対数正規分布の累積分布関数の計算

ライブスクリプトを開く

平均 mu および標準偏差 sigma をもつ対数正規分布について、x 内の値で評価した cdf の値を計算します。

x = 0:0.2:10;
mu = 0;
sigma = 1;
p = logncdf(x,mu,sigma);

累積分布関数をプロットします。

plot(x,p)
grid on
xlabel('x')
ylabel('p')

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel x, ylabel p contains an object of type line.

正規分布と対数正規分布の関係

ライブスクリプトを開く

X がパラメーター µ および σ をもつ対数正規分布に従う場合、log(X) は平均 µ および標準偏差 σ をもつ正規分布に従います。分布オブジェクトを使用して、正規分布と対数正規分布の関係を調べます。

パラメーター値を指定して対数正規分布オブジェクトを作成します。

pd = makedist('Lognormal','mu',5,'sigma',2)

pd = 
  LognormalDistribution

  Lognormal distribution
       mu = 5
    sigma = 2

対数正規分布の平均値を計算します。

mean(pd)

ans = 1.0966e+03

対数正規分布の平均値は、mu パラメーターと等しくありません。対数値の平均は mu に等しくなります。乱数を生成して、この関係を確認します。

対数正規分布から乱数を生成し、その対数値を計算します。

rng('default');  % For reproducibility
x = random(pd,10000,1);
logx = log(x);

対数値の平均を計算します。

m = mean(logx)

m = 5.0033

x は対数正規分布に従うので、x の対数の平均は x の mu パラメーターに近くなっています。

正規分布近似を使用して、logx のヒストグラムを作成します。

histfit(logx)

Figure contains an axes object. The axes object contains 2 objects of type bar, line.

このプロットは、x の対数値が正規分布に従うことを示しています。

histfit は、fitdist を使用して分布をデータに当てはめます。fitdist を使用して、当てはめに使用されたパラメーターを取得します。

pd_normal = fitdist(logx,'Normal')

pd_normal = 
  NormalDistribution

  Normal distribution
       mu = 5.00332   [4.96445, 5.04219]
    sigma = 1.98296   [1.95585, 2.01083]

推定された正規分布のパラメーターは、対数正規分布のパラメーター 5 および 2 に近くなっています。

対数正規分布とブール分布の pdf の比較

ライブスクリプトを開く

対数正規分布から生成された収入データを使用して、対数正規分布の pdf をブール分布の pdf と比較します。

収入データを生成します。

rng('default') % For reproducibility
y = random('Lognormal',log(25000),0.65,[500,1]);

ブール分布を近似します。

pd = fitdist(y,'burr')

pd = 
  BurrDistribution

  Burr distribution
    alpha = 26007.2   [21165.5, 31956.4]
        c = 2.63743   [2.3053, 3.0174]
        k = 1.09658   [0.775479, 1.55064]

収入データのブール分布と対数正規分布の両方の pdf を同じ Figure にプロットします。

p_burr = pdf(pd,sortrows(y));
p_lognormal = pdf('Lognormal',sortrows(y),log(25000),0.65);
plot(sortrows(y),p_burr,'-',sortrows(y),p_lognormal,'-.')
title('Burr and Lognormal pdfs Fit to Income Data')
legend('Burr Distribution','Lognormal Distribution')

Figure contains an axes object. The axes object with title Burr and Lognormal pdfs Fit to Income Data contains 2 objects of type line. These objects represent Burr Distribution, Lognormal Distribution.

参照

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9. Dover print.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Dover Books on Mathematics. New York, NY: Dover Publ, 2013.

[2] Evans, M., N. Hastings, and B. Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed., Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

[3] Lawless, J. F. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 1982.

[4] Marsaglia, G., and W. W. Tsang. “A Fast, Easily Implemented Method for Sampling from Decreasing or Symmetric Unimodal Density Functions.” SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. Vol. 5, Number 2, 1984, pp. 349–359.

[5] Meeker, W. Q., and L. A. Escobar. Statistical Methods for Reliability Data. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1998.

[6] Mood, A. M., F. A. Graybill, and D. C. Boes. Introduction to the Theory of Statistics. 3rd ed., New York: McGraw-Hill, 1974. pp. 540–541.

参考