複素線積分

無名関数を用いた被積分関数の定義

次の積分を行います。

ここで、$$C$$ は原点にある $$e^z/z$$ の 1 位の極を囲む閉曲線です。

無名関数を用いて被積分関数を定義します。

fun = @(z) exp(z)./z;

途中点を使用しない積分

パラメーター化を用いて、複素数関数の閉曲線積分を求めることができます。一般的には、閉曲線を指定し、次にこれを微分して元の被積分関数のパラメーター化に使用します。この例では、閉曲線を単位円として指定しますが、すべての場合において、結果は選択した閉曲線とは独立したものとなります。

g = @(theta) cos(theta) + 1i*sin(theta);
gprime = @(theta) -sin(theta) + 1i*cos(theta);
q1 = integral(@(t) fun(g(t)).*gprime(t),0,2*pi)

q1 = -0.0000 + 6.2832i

このパラメーター化の方法は信頼性が高い一方、積分の実行前に微分を計算しなければならないため難しく、時間がかかることがあります。単純な関数の場合でも、正しい結果を得るために数行のコードを作成しなければなりません。極 (この例では原点) を囲む任意の閉曲線で結果は同じなので、代わりに integral の 'Waypoints' オプションを使用して、極を囲む正方形または三角形の積分路を作成することができます。

内部に極を含まない閉曲線に沿った積分

積分の上下限または途中点ベクトルの成分が複素数の場合、integral は複素平面上の一連の直線経路に沿って積分を実行します。閉曲線の正方向は反時計回りです。時計回りの閉曲線を指定することは -1 を乗算することと同様です。関数の特異点を 1 つ囲む閉曲線を指定します。極を含まない閉曲線を指定した場合、コーシーの積分定理により閉曲線を積分した値は 0 になります。

これを確認するために、原点を含まない正方形の閉曲線に沿って fun を積分します。積分路の始点と終点を同じ値にして、閉曲線を形成します。

C = [2+i 2+2i 1+2i];
q = integral(fun,1+i,1+i,'Waypoints',C)

q = 1.9429e-16 - 5.5511e-16i

結果はほぼ eps の大きさであり、事実上 0 となります。

内部に極を含む閉曲線に沿った積分

原点の極を完全に含む正方形の閉曲線を指定して、積分します。

C = [1+i -1+i -1-i 1-i];
q2 = integral(fun,1,1,'Waypoints',C)

q2 = -0.0000 + 6.2832i

この結果は前に計算した q1 と一致しますが、使用するコードはずっと簡単です。

この問題の厳密な解は $$2\pi i$$ です。

2*pi*i

ans = 0.0000 + 6.2832i