LMS アルゴリズムの使用による FIR フィルターのシステム同定

システム同定は、適応フィルターを使用して未知のシステムの係数を特定するプロセスです。このプロセスの概要は、システム同定 –– 適応フィルターの使用による未知のシステムの同定に示されています。関係する主なコンポーネントは以下のとおりです。

適応フィルターアルゴリズム。この例では、dsp.LMSFilter の Method プロパティを 'LMS' に設定して、LMS 適応フィルターアルゴリズムを選択します。
適応対象となる未知のシステムまたはプロセス。この例では、fircband で設計されたフィルターが未知のシステムです。
適応プロセスを実行する適切な入力データ。一般的な LMS モデルの場合、これらは目的の信号 $d (k)$ と入力信号 $x (k)$ です。

適応フィルターの目的は、適応フィルターの出力 $y (k)$ と未知のシステム (同定対象のシステム) の出力 $d (k)$ の間で誤差信号を最小化することです。誤差信号が最小化されると、適応させたフィルターは未知のシステムに似たものになります。両方のフィルターの係数は、ほぼ一致します。

未知のシステム

同定対象のシステムを表す dsp.FIRFilter オブジェクトを作成します。関数 fircband を使用して、フィルターの係数を設計します。設計するフィルターは、阻止帯域で 0.2 リップルに制約されているローパスフィルターです。

filt = dsp.FIRFilter;
filt.Numerator = fircband(12,[0 0.4 0.5 1],[1 1 0 0],[1 0.2],... 
{'w' 'c'});

信号 x を FIR フィルターに渡します。目的の信号 d は、未知のシステム (FIR フィルター) の出力と加法性ノイズ信号 n の和です。

x = 0.1*randn(250,1);
n = 0.01*randn(250,1);
d = filt(x) + n;

適応フィルター

未知のフィルターを設計して目的の信号の準備ができたので、適応 LMS フィルターオブジェクトを作成および適用して未知のフィルターを特定します。

適応フィルターオブジェクトを準備するには、フィルターの係数を推定するための開始値と LMS のステップサイズ (mu) が必要です。フィルター係数の推定値として、一連の非ゼロ値で始めることができます。この例では、13 個のフィルターの重みの初期値にゼロを使用します。dsp.LMSFilter の InitialConditions プロパティをフィルターの重みの目的の初期値に設定します。ステップサイズについては、250 回の反復 (250 個の入力サンプル点) で適切に収束するための十分に大きい値と未知のフィルターを正確に推定するための十分に小さい値の間にある、0.8 が良い妥協点です。

LMS 適応アルゴリズムを使用する適応フィルターを表す dsp.LMSFilter オブジェクトを作成します。適応フィルターの長さを 13 タップ、ステップサイズを 0.8 に設定します。

mu = 0.8;
lms = dsp.LMSFilter(13,'StepSize',mu)

lms = 
  dsp.LMSFilter with properties:

                   Method: 'LMS'
                   Length: 13
           StepSizeSource: 'Property'
                 StepSize: 0.8000
            LeakageFactor: 1
        InitialConditions: 0
           AdaptInputPort: false
    WeightsResetInputPort: false
            WeightsOutput: 'Last'

  Use get to show all properties

一次入力信号 x と目的の信号 d を LMS フィルターに渡します。適応フィルターを稼働させて、未知のシステムを特定します。適応フィルターの出力 y は目的の信号 d に収束された信号であり、2 つの信号間の誤差 e を最小化します。

結果をプロットします。出力信号と目的の信号が期待どおりには一致しておらず、これらの間の誤差は無視できません。

[y,e,w] = lms(x,d);
plot(1:250, [d,y,e])
title('System Identification of an FIR filter')
legend('Desired','Output','Error')
xlabel('Time index')
ylabel('Signal value')

Figure contains an axes object. The axes object with title System Identification of an FIR filter, xlabel Time index, ylabel Signal value contains 3 objects of type line. These objects represent Desired, Output, Error.

重みの比較

重みベクトル w は、未知のシステム (FIR フィルター) に似るように適応させた LMS フィルターの係数を表します。収束を確認するために、FIR フィルターの分子係数と適応フィルターの推定された重み付けを比較します。

前の信号プロットの結果を確認すると、推定されたフィルターの重みと実際のフィルターの重みが十分には一致していません。

stem([(filt.Numerator).' w])
title('System Identification by Adaptive LMS Algorithm')
legend('Actual filter weights','Estimated filter weights',...
       'Location','NorthEast')

Figure contains an axes object. The axes object with title System Identification by Adaptive LMS Algorithm contains 2 objects of type stem. These objects represent Actual filter weights, Estimated filter weights.

ステップサイズの変更

実験的に、ステップサイズを 0.2 に変更してみます。mu = 0.2 を使用して例を繰り返すと、以下のステムプロットが出力されます。フィルターは収束せず、推定された重みは実際の重みの良好な近似にはなっていません。

mu = 0.2;
lms = dsp.LMSFilter(13,'StepSize',mu);
[~,~,w] = lms(x,d);
stem([(filt.Numerator).' w])
title('System Identification by Adaptive LMS Algorithm')
legend('Actual filter weights','Estimated filter weights',...
       'Location','NorthEast')

データサンプル数の増加

目的の信号のフレームサイズを大きくします。これにより必要な計算量が増えますが、適応に使用できるデータがより多く LMS アルゴリズムに与えられます。信号データのサンプルを 1000 個、ステップサイズを 0.2 にすると、係数が前より一致するようになり、収束が改善されることがわかります。

release(filt);
x = 0.1*randn(1000,1);
n = 0.01*randn(1000,1);
d = filt(x) + n;
[y,e,w] = lms(x,d);
stem([(filt.Numerator).' w])
title('System Identification by Adaptive LMS Algorithm')
legend('Actual filter weights','Estimated filter weights',...
       'Location','NorthEast')

反復処理でデータを入力して、データサンプル数をさらに増やします。1000 サンプルずつまとめて 4 回の反復で渡して、4000 サンプルのデータに対して LMS アルゴリズムを実行します。

フィルターの重みを比較します。LMS フィルターの重みが FIR フィルターの重みと非常によく一致しているので、収束が適切であることがわかります。

release(filt);
n = 0.01*randn(1000,1);
for index = 1:4
  x = 0.1*randn(1000,1);
  d = filt(x) + n;
  [y,e,w] = lms(x,d);
end
stem([(filt.Numerator).' w])
title('System Identification by Adaptive LMS Algorithm')
legend('Actual filter weights','Estimated filter weights',...
       'Location','NorthEast')

出力信号と目的の信号が非常によく一致しており、これらの間の誤差はゼロに近くなっています。

plot(1:1000, [d,y,e])
title('System Identification of an FIR filter')
legend('Desired','Output','Error')
xlabel('Time index')
ylabel('Signal value')

参考

オブジェクト

dsp.LMSFilter

参照

[1] Hayes, Monson H., Statistical Digital Signal Processing and Modeling. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 1996, pp.493–552.

[2] Haykin, Simon, Adaptive Filter Theory. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, Inc., 1996.